Grafik: Energieluecken in Metall, Isolator und Halbleiter

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Energieniveaus, Bänder und Energielücken

Elektronen in Atomen und Molekülen

Freie Elektronen können jede beliebige Geschwindigkeit annehmen – mit anderen Worten: sie können jede beliebige Energie haben. (Von Beschränkungen durch die spezielle Relativitätstheorie, die ja bekanntlich Geschwindigkeiten verbietet, die über der Lichtgeschwindigkeit liegen, sehen wir jetzt mal ab.) Anders sieht es aus, wenn ein Elektron sich in einem Atom befindet – hier ist es gezwungen, ganz bestimmte Energiezustände oder Energieniveaus einzunehmen. Man stellt sich das bildlich oft so vor, als würde das Elektron sich auf bestimmten Bahnen bewegen. Dieses Bild ist jedoch sehr stark vereinfacht, da Elektronen Quantenobjekte sind und sich als solche nicht auf klar definierten Bahnen bewegen. Der Aufenthaltsort eines Elektrons ist nicht durch eine solche Bahn gegeben, sondern durch eine räumliche Wahrscheinlichkeitsverteilung – als Orbital bezeichnet. (Und nicht alle Orbitale haben Kugelform.) Jedes Orbital stellt ein Energieniveau dar. Soll ein Elektron von einem Energieniveau in ein anderes übergehen, muss es die fehlende Energie absorbieren oder die überschüssige abgeben. Da die Elektronen nur die festgelegten Energieniveaus einnehmen können, also auch nur zwischen diesen wechseln können, können sie auch nur ganz bestimmte Energien aufnehmen oder abgeben – nämlich diejenigen, die dem Unterschied zweier Energieniveaus entsprechen. (Es sei denn, es wird ihnen so viel Energie zugefürt, dass sie dem Atom vollständig entkommen können – die so genannte Ionisierungsenergie. Energien oberhalb der Ionisierungsenergie dürfen jeden beliebigen Wert haben.) Die Energie, um in ein höheres Niveau zu springen, kann durch elektromagnetische Strahlung, aber auch durch Stöße mit freien Elektronen übertragen werden. Eine Anregung über Stöße kommt beispielsweise beim Blitz vor (Wetter) oder bei dem Blitz zwischen den Elektroden der Wimshurst-Maschine (Wimshurst-Maschine).

Es können nicht zwei Elektronen denselben Energiezustand einnehmen.

Abb. 1 ¦ Elektron im Atom   Grafik: Ein Elektron im Atom springt von einem Energiezustand in einen anderen.
Bildunterschrift Links: Absorbiert ein Elektron eine elektromagnetische Welle (Wellenlinie) mit passender Energie, kann es in ein energetisch höheres Orbital springen. (Für eine anschauliche Darstellung habe ich das stark vereinfachte Bild der Elektronenbahnen um den Atomkern genommen.)
Rechts: Fällt das Elektron wieder ein energetisch niedrigeres Orbital zurück, sendet es eine elektromagnetische Welle derselben Frequenz aus.Bildunterschrift Ende

Verbinden sich nun zwei Atome zu einem Molekül, verschmelzen die beiden äußeren Orbitale der beiden Atome zu zwei Molekülorbitalen. Diese erstrecken sich über das ganze Molekül und bilden so die chemische Bindung zwischen den beiden Atomen. Auch zu jedem Molekülorbital gehört wieder ein bestimmter Energiewert, die beide in der Nähe der Energie der alten Orbitale der einzelnen Atome liegen. Schließen sich drei Atome zusammen, bilden sich aus den beteiligten Atomorbitalen drei Molekülorbitale – deren Energien ebenfalls in der Nähe der Energie des Atomorbitals liegen.

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Elektronen in Festkörpern – Bändermodell

Schließen sich nun sehr viele Atome zusammen, wie dies in einem Festkörper der Fall ist, bilden sich entsprechend viele Molekülorbitale. Jedes Molekülorbital hat wiederum seinen ganz bestimmten Energiewert. Da diese Energiewerte aber alle innerhalb eines begrenzten Bereiches um die Energie des ursprünglichen Atomorbitals liegen, sind ihre Abstände sehr klein – so klein, dass die Energiewerte praktisch kontinuierlich sind. Das bedeutet, dass die einzelnen Molekülorbitale zu einem Energieband verschmieren.
Der Ausdruck „Band“ für die über den ganzen Kristall ausgedehnten Energiezustände hat daher nichts mit der räumlichen Form zu tun, sondern bezieht sich auf die (fast) kontinuierlichen Energiewerte – es handelt sich nicht etwa um ein „Band“, das sich durch den Kristall schlängelt. Das Energieband hüllt gewissermaßen alle Atome ein.

Abb. 2 ¦ Vom Atomorbital zum Molekülorbital   Grafik: Aufspaltung der Energie von Atomorbitalen in die von Molekuelorbitalen und Baendern
Bildunterschrift Von links nach rechts (schematisch):
– Energie eines Atomorbitals
– die Energien der beiden Molekülorbitale bei einem zweiatomigen Molekül (gestrichelt: ursprüngliches Atomorbital)
– die Energien der drei Molekülorbitale bei einem dreiatomigen Molekül
– Energieband in einem FestkörperBildunterschrift Ende

Weil die Abstände zwischen den einzelnen Energieniveaus innerhalb eines Bandes also sehr klein sind, können die Elektronen leicht von einem Niveau ins nächste hüpfen. Aber auch im Band dürfen nicht zwei Elektronen exakt dieselbe Energie haben. Sind also alle Energiezustände in einem Band besetzt, können die Elektronen „ihren“ Zustand nicht verlassen – es sei denn, sie verlassen das Band und springen in ein anderes Band. Ob das möglich ist, hängt davon ab, wie groß der Energieunterschied zum nächsthöheren Band ist. Da die Energiebänder im Kristall an die Stelle der Orbitale im Atom treten, sind sie durch so genannte Energielücken voneinander getrennt – vergleichbar den energetischen Abständen zwischen den Orbitalen im Atom. In diesen Energielücken befinden sich keine Energieniveaus – so wie sich auch zwischen den Orbitalen in den Atomen keine möglichen Energieniveaus für Elektronen befinden.
Die Größe der Energielücke und die Besetzung der Bänder ist nun das, was Metalle, Isolatoren und Halbleiter voneinander unterscheidet. Bei Metallen ist das (energetisch betrachtet) höchste Band, das noch Elektronen enthält, nicht vollständig gefüllt – die Elektronen finden innerhalb dieses Bandes also noch freie Energieniveaus und können sich im Band bewegen und einen Strom transportieren. Das Band heißt deshalb Leitungsband. Den Energiezustand ändern heißt die Geschwindigkeit ändern. Wird also eine elektrische Spannung an ein Metall angelegt, kann diese den Elektronen Energie zuführen, indem sie sie in ein höheres Energieniveau anhebt – oder klassisch ausgedrückt: indem sie sie in Bewegung setzt.
Bei Isolatoren (wie Diamant) ist das höchste Elektronen enthaltende Band vollständig gefüllt – die Elektronen finden keine freien Energieniveaus im Band und sind deshalb unbeweglich. (Dieses Band heißt Valenzband.) Um sie in Bewegung zu setzen, müssten sie so viel Energie erhalten, dass sie das nächsthöhere leere Band erreichen. (Dies ist das Leitungsband.) Die Energielücke zwischen dem Valenz- und dem Leitungsband ist aber zu groß, auch die Zufuhr von elektrischer Energie aus einer Spannungsquelle reicht nicht aus, um die Elektronen ins Leitungsband zu heben. Es kann daher kein Strom fließen.
Bei Halbleitern (wie Silicium) ist das Valenzband ebenfalls vollständig gefüllt, jedoch ist bei ihnen die Energielücke zum Leitungsband so klein, dass es leicht möglich ist, den Elektronen im Valenzband die Energie zuzuführen, die sie ins Leitungsband hebt. Schon bei Zimmertemperatur gelangen einige Elektronen vom Valenz- ins Leitungsband.

Abb. 3 ¦ Energielücken   Grafik: Energieluecken in Metall, Isolator und Halbleiter
Bildunterschrift Im Metall ist das Leitungsband zum Teil mit Elektronen besetzt (dargestellt durch die blaue Farbe), diese können die Energieniveaus innerhalb des Bandes leicht wechseln. In Isolator und Halbleiter ist das Leitungsband leer, das Valenzband ist voll besetzt. Weder in dem einen noch in dem anderen können sich daher Elektronen bewegen. Im Halbleiter können Elektronen aber leicht über die schmale Energielücke ins Leitungsband gehoben werden.Bildunterschrift Ende

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Elektronen in Supraleitern

In einem normalleitenden Metall liegen die Energiezustände der Elektronen also so dicht zusammen, dass sie als kontinuierlich angesehen werden können. Nun verursacht ja nicht nur eine elektrische Spannung eine Änderung der Geschwindigkeit, also der Energie der Elektronen. Auch Stöße mit Atomen ändern die Geschwindigkeit der Elektronen und damit ihren Energiezustand. Innerhalb des Leitungsbandes finden die Elektronen für jede dieser Änderungen einen passenden Energiezustand, in den sie nach einem Stoß springen können.
Stöße mit Atomen behindern die Elektronen in ihrer Fortbewegung – was nichts anderes bedeutet, als dass die Stöße mit den Atomen den Stromfluss behindern und somit den elektrischen Widerstand bedingen.
In einem supraleitenden Material gibt es bekanntlich keinen elektrischen Widerstand. Wird ein Material supraleitend, rutschen alle Elektronen in einen tief liegenden Energiezustand, der durch eine Energielücke von den anderen Zuständen getrennt ist. Das kommt zustande, weil sich die supraleitenden Elektronen zu so genannten Cooper-Paaren zusammenschließen. Um ein solches Paar zu trennen, muss eine bestimmte Energie aufgebracht werden – nämlich genau die Energie dieser Energielücke.
Durch den Zusammenschluss zu Paaren erreichen die Elektronen noch etwas anderes ganz Entscheidendes: Elektronen dürfen bekanntlich nicht in einen Energiezustand, in dem schon ein anderes Elektron sitzt. Das gilt für alle Teilchen, deren Spin halbzahlig ist. (Der Spin ist so etwas wie eine Drehung des Teilchens um sich selbst.) Teilchen mit ganzzahligem Spin dagegen können sich zu vielen zusammen in ein und demselben Energiezustand tummeln. Ein Cooper-Paar ist nun im Gegensatz zu einem einzelnen Elektron ein Teilchen mit einem ganzzahligen Spin (die beiden halbzahligen Spins der Elektronen addieren sich zu null.) Somit können sich alle Cooper-Paare eines Supraleiters im tiefsten Energiezustand sammeln.
Da dieser tiefste Zustand durch eine Energielücke von den anderen Zuständen getrennt ist, es nun also keinen Energiezustand in der Nähe dieses tiefsten Zustandes gibt, in den ein Elektron nach einem Stoß und der entsprechenden Energieänderung springen könnte, sind Stöße gar nicht möglich und es gibt keinen elektrischen Widerstand.
Die Wechselwirkung zwischen Elektronen und Atomen ist gewissermaßen eingestellt. Stöße sind erst wieder möglich, wenn mindestens die Energie der Energielücke aufgebracht wird. Dann werden die Cooper-Paare wieder in einzelne Elektronen aufgebrochen, die in das höhere Band angehoben werden. Damit ist die Supraleitung zerstört. Deshalb darf die Stromdichte einen bestimmten Betrag nicht überschreiten, wenn der Supraleiter ein Supraleiter bleiben soll.

Abb. 4 ¦ Energiezustände im Normal- und Supraleiter   Grafik: Vergleich der Baender im Normalleiter und im Supraleiter
Bildunterschrift Links: Im normalleitenden Metall liegen die Energiezustände so dicht, dass es für jede stoßbedingte Energieänderung einen passenden Energiezustand gibt.
Rechts: Im supraleitenden Material befinden sich alle Cooper-Paare im tiefsten Energiezustand und sind durch eine Energielücke von den Energiezuständen der normmalleitenden Elektronen getrennt.

Großansicht der AbbildungBildunterschrift Ende

© Wiebke Salzmann, April 2009

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